Application prox Solution d'un problème de minimisation de \(f\), à laquelle on a ajouté une Fonction convexe. $$\operatorname{prox}_{\lambda f}(y):=\arg\min_{x\in H}\underbrace{ f(x)+\frac{\lVert x-y\rVert^2}{2\lambda} }_{=:\,\phi_y(x)}$$

• on dit que \(x=\operatorname{prox}_{\lambda f}(y)\) est le point proximal de \(y\) relativement à \(\lambda f\)
    
• caractérisation : \(\frac{y-x}{\lambda}\in\partial f(x)\)
• inégalité proximale : $$f(y)-f(\operatorname{prox}_{\lambda f}(x))\geqslant\frac1\lambda\Big\langle y-\operatorname{prox}_{\lambda f}(x),x-\operatorname{prox}_{\lambda f}(x)\Big\rangle$$
    
• conséquences :
        
• \(\lVert\operatorname{prox}_{\lambda f}(y)-\operatorname{prox}_{\lambda f}(x)\rVert^2\leqslant\braket{x-y,\operatorname{prox}_{\lambda f}(x)-\operatorname{prox}_{\lambda f}(y)}\)
        
• \(\operatorname{prox}_{\lambda f}\) est \(1\)-lipschitzienne, donc continue

Questions de cours

Démontrer \(\enclose{circle}1\) :

Cela vient d'une inclusion dans la Sous-différentielle du prox.

Démontrer \(\enclose{circle}2\) :

On fait un changement de variable dans \(\enclose{circle}1\).

Le résultat s'obtient en additionnant l'inégalité obtenue avec sa symétrie.

Démontrer \(\enclose{circle}3\) :

C'est une simple utilisation de l'Inégalité de Cauchy-Schwarz.

Exercices

Soit \(f=\exp\). Calculer \(\operatorname{prox}_{\lambda f}\).

Poser la fonction à minimiser.

Critère du premier ordre.

Soit \(f=\ln\). Calculer \(\operatorname{prox}_{\lambda f}\).

Condition du premier ordre.

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner un exemple de fonction \(f\) et un point \(y\) tq que $$\operatorname{prox}_{\lambda f}(\operatorname{prox}_{\lambda f}(y))\ne\operatorname{prox}_{\lambda f}(y)$$
Verso: On prend \(f(x)=\lvert x\rvert\).
Bonus:
Carte inversée ?:
END